Area de um Setor

Area de um Setor de um Circulo [Prerequisito: Radiano]

Para eu calcular a area cinza da figura acima, repare que se eu multiplicar o raio vezes o raio, eu acho a area do quadrado mostrado na figura abaixo:

mas nao e toda essa area que eu quero, o que eu posso fazer entao, e dividir a area desse quadrado por 2, achando assim a area do triangulo mostrado na figura abaixo:

e para eu incrementar apenas a parte em roxo, eu entao multiplico a area do triangulo pelo angulo teta em radianos, a formula fica assim :

Exemplo :

Em um circulo de raio 30 cm, qual a area do setor interceptado por um angulo de 1/3 rad?

E para um circulo de raio =18 cm, a area de um setor interceptado por um angulo central de 50° vale : (lembre que os graus devem estar em radianos, entao primeiro eu converto os 50 ° para radianos).

agora e so aplicar a formula :

Radiano

Radiano [Prerequisito: Pi]

Observando a figura acima, dizemos que o angulo formado entre o raio e a extremidade que toca a circunferencia a partir do centro do circulo e igual a 1 radiano quando o tamanho do raio e igual ao tamanho de Y, tambem indicado em vermelho. E claro que o raio e reto e o Y e curvo, entao quando eu digo do mesmo tamanho, quero dizer no caso de voce curvar o raio ou transformar o Y numa reta, eles entao terao o mesmo comprimento.

Em outras palavras, se o Y for igual ao raio, entao aquele angulo indicado e igual a um radiano.

Voce ja deve saber que o diametro e igual a 2 vezes o raio :

, e tambem como foi visto no capitulo pi, que , portanto posso dizer que .

Outra coisa que voce tambem ja deve saber, e que uma volta completa pelo circulo tem 360 graus. Entao vamos raciocinar, se o perimetro e uma volta completa pela circulo

entao ele deve ter 360 °, reescrevendo a formula acima fica : , e se eu considerar que o raio quando possui o mesmo tamanho que um segmento da circunferencia (Y) possui angulo de 1 rad, independetemente do tamanho do raio, ja que se o raio crescer o Y tambem cresce.Entao eu digo que 1 raio = 1 rad.

Continuo a reescrever a formula,

essa formula nos diz que um rad vale

graus. Se quisermos o contrario, um grau vale quantos rad?

Exercicio :

Transforme os angulos dados em radianos, para angulos em graus.

Se voce esta se perguntando de onde apareceu esse 180° \pi, lembra que esse valor e igual a um rad, entao se eu apenas substitui o rad por esse equivalente.

Agora tranfome os angulos dados em graus para angulos em radiano.

Pi

Pi() Prerequisito: Nenhum

A constante :

Nosso primeiro passo para o estudo da trigonometria começa com o estudo do . Voce certamente ja deve ter encontrado esse numero pela frente, iremos analisar aqui, seu valor e o que ele significa, tentarei explicar de forma mais simples possivel.

Ao observar a figura 1, podemos identificar o diametro (d) e o perimetro (p) de um circulo. O diametro (em verde) e um segmento de reta que que toca dois pontos do circulo, passando pelo centro. E o perimetro (em vermelho) e a medida do contorno do circulo .

Mas o que e o afinal?

O e o valor obtido quando eu faço a divisao do perimetro pelo diametro :

Esse valor sempre vai dar 3,14159 ... independentemente do tamanho do diametro, por isso entao e chamado de contante. Seu valor exato porem e indefinido, ou seja, aqui estou usando 5 casas decimais apos a virgula (, 14158) mas poderiam ser infinitas.

O significado de portando e : A cada unidade que e alterada no tamanho do diametro, o tamanho do perimetro altera em unidades. (ou 3, 14159 .. unidades), quando eu digo unidades, pode ser centimetros, milimetros, metros, ou seja la o que for.

Vamos ver isso melhor, com um exemplo :

Tenho um circulo com diametro igual a 15 cm, qual o seu perimetro?

De posse da formula que define o citada acima fazemos :

E se o diametro fosse 16 cm?

O que podemos concluir entao?

Note que o diametro aumentou em 1 cm (16 cm - 15) e o perimetro aumentou em cm (50, 26544 cm - 47, 12385 cm).

Assim reforço que a cada unidade que eu aumentar ou diminuir do tamanho do diametro, o tamanho do perimetro aumenta em 3, 14159 .. unidades.